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    在四棱锥中，平面，,.

    (Ⅰ)求证：；

    (Ⅱ)求与平面所成角的正弦值；

    (Ⅲ)线段上是否存在点,使平面？说明理由.

    证明：(Ⅰ)在四棱锥中，因为平面，平面,

    所以.       因为，       所以.

           因为,       所以平面.

    因为平面,所以.             

    (Ⅱ) 如图，以为原点建立空间直角坐标系.  不妨设，则.

    则.

               所以，.

               设平面的法向量.

               所以 .即.

               令，则.

               所以 所以

    所以与平面所成角的正弦值为.                

    (Ⅲ)（法一）当为线段的中点时,平面.

    如图：分别取的中点,连结.

         所以,且.     因为且，

         所以且.     所以四边形是平行四边形.

         所以.     因为，    所以三角形是等腰三角形.

        所以.         因为平面，        所以.

            因为,        所以平面.        所以平面.

               即在线段上存在点,使平面.              

       （法二）设在线段上存在点,当时，平面.

               设，则.所以.

    即.所以.

    所以.由(Ⅱ)可知平面的法向量.

    若平面，则.即.解得.

    所以当，即为中点时，平面.   

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    （本小题满分14分）如图，在四棱锥中，平面PAD⊥平面ABCD，
    AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点
    求证：（1）直线EF‖平面PCD；
    （2）平面BEF⊥平面PAD

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    如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，．

    （Ⅰ）求证：；

    （Ⅱ）若，求二面角的余弦值.

     

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    在四棱锥中，平面，底面为矩形，.

    （Ⅰ）当时，求证：；

    （Ⅱ）若边上有且只有一个点，使得，求此时二面角的余弦值.

    【解析】第一位女利用线面垂直的判定定理和性质定理得到。当a=1时，底面ABCD为正方形，

    又因为,………………2分

    又，得证。

    第二问，建立空间直角坐标系，则B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)……4分

    设BQ=m，则Q(1，m,0)(0《m《a》

    要使，只要

    所以，即………6分

    由此可知时，存在点Q使得

    当且仅当m=a-m，即m=a/2时，BC边上有且只有一个点Q，使得

    由此知道a=2,  设平面POQ的法向量为

    ,所以    平面PAD的法向量

    则的大小与二面角A-PD-Q的大小相等所以

    因此二面角A-PD-Q的余弦值为

    解：(Ⅰ)当时，底面ABCD为正方形，

    又因为,又………………3分

    (Ⅱ) 因为AB,AD,AP两两垂直，分别以它们所在直线为X轴、Y轴、Z轴建立坐标系，如图所示，

    则B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)…………4分

    设BQ=m，则Q(1，m,0)(0《m《a》要使，只要

    所以，即………6分

    由此可知时，存在点Q使得

    当且仅当m=a-m，即m=a/2时，BC边上有且只有一个点Q，使得由此知道a=2,

    设平面POQ的法向量为

    ,所以    平面PAD的法向量

    则的大小与二面角A-PD-Q的大小相等所以

    因此二面角A-PD-Q的余弦值为

     

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    科目：高中数学 来源：2011-2012学年贵州省黔东南州高三第一次高考模拟考试理科数学试卷（解析版） 题型：解答题

    如图，在四棱锥中，平面，，，．

    （Ⅰ）证明：；

    （Ⅱ）求与平面所成角的大小．

     

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    科目：高中数学 来源：2013届黑龙江省高二上学期期末考试理科数学 题型：解答题

    （12分）在四棱锥中，平面PAD⊥平面ABCD，     AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点

    求证：（1）直线EF∥平面PCD；

    （2）平面BEF⊥平面PAD

     

     

     

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