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在半径为R的圆的内接四边形ABCD中,AB=,BC=,且△ACD的面积等于△ABC面积的3倍,求:
(1)圆的半径R;
(2)的值;
(3)四边形ABCD的周长.

【答案】分析:(1)求半径有如下方法:构造含半径R的三角形,解三角形求出半径R值;或是根据正弦定理,===2R,根据本题的已知条件,可知用正弦定理相对可行,故可由余弦定理求出AC,再由正弦定理求R.
(2)要求 ,根据向量数量积的计算公式,我们要求出两个向量模的积及夹角的余弦值,由∠B与∠D互补,夹角的余弦值易得,然后根据△ACD的面积等于△ABC面积的3倍,也可以得到两个向量模的积,代入可得答案.
(3)由AB=,BC=,我们要求四边形的周长,关键是要求出AD、CD边的长,结合(2)结论和余弦定理,易得答案.
解答:解:(1)在三角形ABC中,
有余弦定理:AC2=AB2+BC2-2AB•BCcos∠ABC,
∵AB=,BC=
所以AC=3,
由正弦定理可知:

(2)
因为△ACD的面积等于△ABC面积的3倍,
=
∴DA•DC=3BA•BC,
∵BA•BC=2,

(3)三角形ADC中,有AC2=AD2+CD2-2AD•CDcos∠DAC,
又∵DA•DC=6,所以有AD2+AC2=12,
从而有
所以四边形ABCD的周长为
点评:此题考查了正弦定理,余弦定理,三角形的面积公式以及平面向量的数量积运算,求圆的半径有如下方法:①构造含半径R的三角形,解三角形求出半径R值;②如果圆为△ABC的外接圆,则根据正弦定理,===2R;③如果圆为△ABC的内切圆,则根据面积公式S=•l•r(其中l表示三角形的周长).熟练掌握定理及公式是解本题的关键.
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