Question

已知定义在R上的函数y=f（x）满足条件f（x+

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）=-f（x），且函数y=f（x-

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）为奇函数，下面关于f（x）的判定正确序号的选项为（　　）
①函数f（x）是周期函数；        ②函数f（x）的图象关于点（-

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，0）对称；
③函数f（x）为R上的单调函数；  ④函数f（x）为R上的偶函数．

A．①②

B．②③

C．①②③

D．①②④

Answer 1

分析：①把x取x+

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代入f（x+

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）=-f（x），即可求出周期；
②先求函数y=f（x-

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）的对称中心，通过图象平移求函数f（x）的对称中心；
③周期函数不符合单调函数的定义；
④根据函数y=f（x-

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）为奇函数，得出f(-x-

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)=-f(x-

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)，
结合条件f（x+

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）=-f（x），联立变化可证函数f（x）为偶函数．

解答：解：①因为定义在R上的函数y=f（x）满足条件f（x+

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）=-f（x），取x=x+

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得：f(x+

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+

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)=-f(x+

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)
即f(x+3)=-f(x+

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)=-[-f（x）]=f（x），所以函数f（x）是周期为3的函数；
②函数y=f（x-

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）为奇函数，则其图象关于（0，0）对称，而函数f（x）的图象是把函数y=f（x-

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）的图象向左平移

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个单位得到的，所以数f（x）的图象关于点（-

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，0）对称；
③因为函数f（x）是周期函数，不满足函数的单调性概念所以函数f（x）不是R上的单调函数；
④因为函数y=f（x-

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）为奇函数，所以有f(-x-

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)=-f(x-

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)，
取x=x+

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，则有f(-x-

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-

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)=-f(x+

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-

3

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)，所以f(-x-

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)=-f(x)
又f（x+

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）=-f（x），所以f（x+

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）=f（-x-

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），再令x=x+

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，所以有f(x+

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+

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)=f(-x-

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2

-

3

2

)
所以有f（x+3）=f（-x-3），即f（x）=f（-x），所以函数f（x）为偶函数，图象关于y轴对称．
所以叙述正确的是①②④．
故选D．

点评：本题考查了函数的单调性和奇偶性，考查了迭代法，同时考查了函数的图象平移问题，解答此题的关键是灵活运用变量x的变化，是易错题．