Question

10．若（$\sqrt{{2}^{{x}^{2}}}$+$\root{5}{{2}^{-2x}}$）ⁿ展开式的二项式系数中第二、第三、第四项的系数成一个等差数列，且展开式第六项是21，求x．

Answer 1

分析 由题意得2${C}_{n}^{2}$=${C}_{n}^{1}$+${C}_{n}^{3}$，解方程得n的值，再利用二项式展开式中的通项公式求出第6项，列方程求出x的值．

解答 解：由题意得 2${C}_{n}^{2}$=${C}_{n}^{1}$+${C}_{n}^{3}$，
解得n=7；
在（$\sqrt{{2}^{{x}^{2}}}$+$\root{5}{{2}^{-2x}}$）ⁿ=${（\sqrt{{2}^{{x}^{2}}}+\root{5}{{2}^{-2x}}）}^{7}$的展开式中，
其通项公式为：
T_r+1=${C}_{7}^{r}$•${2}^{{x}^{2}•\frac{7-r}{2}}$•${2}^{-\frac{2xr}{5}}$=${C}_{7}^{r}$•${2}^{{x}^{2}•\frac{7-r}{2}-\frac{2xr}{5}}$，
故第6项为${C}_{7}^{5}$•${2}^{{x}^{2}-2x}$=21，
∴x²-2x=0，
解得x=0或x=2．

点评 本题考查了二项式定理的应用问题，解题时应用二项展开式的通项公式求某项的系数，是基础题目．