Question

（2005•静安区一模）为了保护一件珍贵文物，博物馆需要在一种无色玻璃的密封保护罩内充入保护气体．假设博物馆需要支付的总费用由两部分组成：①罩内该种气体的体积比保护罩的容积少0.5立方米，且每立方米气体费用1千元；②需支付一定的保险费用，且支付的保险费用与保护罩容积成反比，当容积为2立方米时，支付的保险费用为8千元．
（1）求博物馆支付总费用y与保护罩容积V之间的函数关系式；
（2）求博物馆支付总费用的最小值；
（3）（理）如果要求保护罩可以选择正四棱锥或者正四棱柱形状，且保护罩底面（不计厚度）正方形边长不得少于1.1米，高规定为2米．当博物馆需支付的总费用不超过8千元时，求保护罩底面积的最小值（结果保留一位小数）．

Answer 1

分析：（1）由需要支付的总费用由两部分组成，当容积为2立方米时，支付的保险费用为8千元，可求比例系数，从而可求支付总费用y与保护罩容积V之间的函数关系式；
（2）由（1）得：y=1000V+

16000

V

-500利用基本不等式可求出当且仅当1000V=

16000

V

，博物馆支付总费用的最小值；
（3）法1：由题意得不等式：V+

16

V

-0.5≤8，分别求出当保护罩为正四棱锥形状时，当保护罩为正四棱柱形状时，最后根据底面正方形面积最小不得少于1.1×1.1=1.21，得出底面正方形的面积最小可取1.4平方米；
法2：先解方程8000=1000V+

16000

V

-500，利用函数y=1000V+

16000

V

-500的单调性求得底面正方形的面积最小可取1.4平方米；
法3：利用基本不等式可求最值，注意等号成立的条件．

解答：解：：（1）y=1000(V-0.5)+

16000

V

=1000V+

16000

V

-500（或y=V+

16

V

-0.5）（V＞0.5）（理4分，文6分）
（2）y=1000V+

16000

V

-500≥7500（理8分，文12分）
当且仅当1000V=

16000

V

，即V=4立方米时不等式取得等号（理（10分），文15分）
所以，博物馆支付总费用的最小值为7500元．                   （文16分）
（3）（理）解法1：由题意得不等式：V+

16

V

-0.5≤8（理12分）
当保护罩为正四棱锥形状时，V=

2

3

S，代入整理得：4S²-51S+144≤0，解得4.22≈

51-3 33

8

≤S≤

51+3 33

8

≈8.53；
当保护罩为正四棱柱形状时，V=2S，代入整理得：4S²-17S+16≤0，解得1.41≈

8.5- 8.25

4

≤S≤

8.5+ 8.25

4

≈2.84（理15分）
又底面正方形面积最小不得少于1.1×1.1=1.21，所以，底面正方形的面积最小可取1.4平方米    （理16分）
解法2．解方程8000=1000V+

16000

V

-500，即V²-8.5V+16=0得两个根为V₁=2.814，V₂=5.686（理12分）
由于函数y=1000V+

16000

V

-500在（0，4]上递减，在[4，+∞）上递增，所以当V＜V₁时，总费用超过8000元，所以V取得最小值V₁（理14分）
由于保护罩的高固定为2米，
所以对于相等体积的正四棱锥与正四棱柱，正四棱柱的底面积是正四棱锥底面积的

1

3

．
所以当保护罩为正四棱柱时，保护罩底面积最小，S=

V1

h

=

2.814

2

≈1.4m²            （理15分）
又底面正方形面积最小不得少于1.1×1.1=1.21，1.21＜1.4，
所以，底面正方形的面积最小可取1.4平方米   （理16分）
解法3．解V+

16

V

-0.5≤8（理12分）
得2.8≈

8.5- 8.25

2

≤V≤

8.5+ 8.25

2

≈5.7（理14分）
又底面正方形面积最小不得少于1.1×1.1=1.21，当保护罩为正四棱锥形状时，V=

2

3

S≥0.87；
当保护罩为正四棱柱形状时，V=2S≥2.42．
所以，保护罩容积可取最小V=2.8立方米，当形状为棱柱时底面正方形的面积最小，为1.4平方米  （理16分）

点评：本题主要考查函数模型的建立及最值问题的研究，应注意基本不等式成立的条件．