Question

设, ，.

(1)若, 且对任意实数均有成立, 求的表达式；

(2)在(1)的条件下, 若不是[-2, 2]上的单调函数, 求实数的取值范围；

(3)设且, 当为偶函数时, 求证: .

Answer 1

解析:由f(0)=1得c=1

(1)由f(-2)=0得4a-2b+1=0, 又由f(x)≥0对x∈R恒成立, 知a＞0且△=b²-4a c≤0

  即b²-2b+1=(b-1)²≤0 ∴b=1, a=从而f(x)=x²+x+1∴g(x)=

(2)由(1)知h(x)=x²+(k+1) x+1, 其图象的对称轴为x= -2(k+1) ,

再由h(x)在 [-2, 2]上不是单调函数, 故得-2＜-2(k+1)＜2

解得-2＜k＜0

(3)当f(x)为偶函数时, f(-x)=f(x), ∴b=0, ∴f(x)=ax²+1, a＞0

  故f(x)在(0, +∞)上为增函数, 从而, g(x)在(0, +∞)上为减函数,

  又m＞0, n＜0, m+n＞0 ∴ m＞-n＞0, 从而g(m)＜g(-n)

且g(-n)= -f(-n)= -f(n)= - g(n)  故得g(m)< -g(n), 因此, g(m)+g(n)＜0