选修4-5:不等式选讲
已知函数f(x)=丨x-a丨+|x-1丨,a∈R.
(I )当a=3时,解不等式 f(x)≤4;
(II)当x∈(-2,1))时,f(x)>|2x-a-1|.求 a 的取值范围.
【答案】
分析:(I )当a=3时,f(x)=丨x-3丨+|x-1丨=
,由 f(x)≤4即可求得不等式 f(x)≤4的解集;
(II)由双绝对值的几何意义可得f(x)=|x-a|+|x-1|≥|x-a+x-1|=|2x-a-1|,分(x-1)(x-a)≥0与(x-1)(x-a)<0讨论,即可求得当x∈(-2,1)时,f(x)>|2x-a-1|的 a的取值范围.
解答:解:(Ⅰ)∵a=3时,f(x)=丨x-3丨+|x-1丨=
,
∴当x<1时,由f(x)≤4得4-2x≤4,解得x≥0;
∴0≤x<1;
当1≤x≤3时,f(x)≤4恒成立;
当x>3时,由f(x)≤4得2x-4≤4,解得x≤4.
∴3<x≤4…(4分)
所以不等式f(x)≤4的解集为{x|0≤x≤4}.…(5分)
(Ⅱ)因为f(x)=|x-a|+|x-1|≥|x-a+x-1|=|2x-a-1|,
当(x-1)(x-a)≥0时,f(x)=|2x-a-1|;
当(x-1)(x-a)<0时,f(x)>|2x-a-1|.…(7分)
记不等式(x-1)(x-a)<0的解集为A,
则(-2,1)⊆A,
故a≤-2,
所以a的取值范围是(-∞,-2].…(10分)
点评:本题考查带绝对值的函数,考查绝对值不等式的解法,通过对x的范围的“分类讨论”,去掉绝对值符号是关键,考查等价转化思想与方程思想的综合运用,属于中档题.