Question

如图3-3-1,已知平面π与圆锥的轴的夹角为β,圆锥母线与轴的夹角为α,α=β,求证:平面π与圆锥的交线为抛物线.

图3-3-1

Answer 1

证明：当β=α时,平面与圆锥的一部分相交,且曲线不闭合.在圆锥内嵌入一个Dandelin球与圆锥交线为圆S.记圆S所在平面为π′,π与π′的交线记为m.球切π于F₁点.

在截口上任取一点P,过P作PA⊥m于A,过P作PB⊥平面π′于B,过P作圆锥的母线交平面π′于C,连结AB、PF₁、BC.

由切线长定理,PF₁=PC.

∵PB平行圆锥的轴,

∴∠APB=β,∠BPC=α.

在Rt△ABP中,PA=,

在Rt△BCP中,PC=.

∵α=β,∴PC=PA.

∴PF₁=PA,即截口上任一点到定点F和到定直线m的距离相等.

∴截口曲线为抛物线.