Question

函数f（x）=2x-

a

x

的定义域为（0，1]（a为实数）．
（1）当a=1时，求函数y=f（x）的值域；
（2）若函数y=f（x）在定义域上是减函数，求a的取值范围．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合,函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：（1）当a=1时，f（x）=2x-

1

x

，根据函数单调性“增“+“增“=“增“，可得f（x）=2x-

1

x

在（0，1]上单调递增，当x=1时取得最大值f（1）=1，无最小值，进而得到函数y=f（x）的值域；
（2）若函数y=f（x）在定义域上是减函数，则任取x₁，x₂∈（0，1]且x₁＜x₂，都有f（x₁）＞f（x₂）成立，即(x1-x2)(2+

a

x1x2

)＞0恒成立，进而可得a的取值范围．

解答： 解：（1）当a=1时，f（x）=2x-

1

x

，
当x∈（0，1]时，y₁=2x和y₂=-

1

x

均单调递增，
所以f（x）=2x-

1

x

在（0，1]上单调递增．
当x=1时取得最大值f（1）=1，无最小值，
故值域为（-∞，1]．
（2）若函数y=f（x）在定义域上是减函数，
则任取x₁，x₂∈（0，1]且x₁＜x₂，
都有f（x₁）＞f（x₂）成立，
即(x1-x2)(2+

a

x1x2

)＞0恒成立，
也就是（x₁-x₂）•

2x1x2+a

x1x2

＞0，
只需2x₁x₂+a＜0，即a＜-2x₁x₂成立．
由x₁，x₂∈（0，1]，
故-2x₁x₂∈（-2，0），
所以a≤-2．
故a的取值范围是（-∞，-2]．

点评：本题考查的知识点是函数奇偶性与函数的单调性，函数的值域，是函数图象与性质的综合应用，难度中档．