Question

在直角坐标系xOy中，设动点P到直线的距离为d₁，到点（0，）的距离为d₂，且．又设点P的轨迹为C，直线l：y=kx+1与C交于A，B两点．
（Ⅰ）写出轨迹C的方程；
（Ⅱ）若，求k的值；
（Ⅲ）若点A在第一象限，试问：当k＞0时，是否恒有？

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以（0，）为焦点，以直线为准线的椭圆．由此能求出曲线C的方程．
（Ⅱ）由，得（k²+4）x²+2kx-3=0．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），故，．若，即x₁x₂+y₁y₂=0．由此能求出k的值．
（Ⅲ）=．因为A在第一象限，故x₁＞0．由，知x₂＜0，由此计k＞0时，．
解答：解：（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以（0，）为焦点，以直线为准线的椭圆．
由得，故曲线C的方程为．…（4分）
（Ⅱ）由，消去y并整理得（k²+4）x²+2kx-3=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
故，．
若，即x₁x₂+y₁y₂=0．
而y₁y₂=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1，
于是，
化简得-4k²+1=0，
所以k=．…．（8分）
（Ⅲ）
=（x₁²-x₂²）+4（1-x₁²-1+x₂²）
=-3（x₁-x₂）（x₁+x₂）
=．
因为A在第一象限，故x₁＞0．
由，知x₂＜0，
从而x₁-x₂＞0．又k＞0，
故，
即在题设条件下，恒有．…（12分）
点评：通过几何量的转化考查用待定系数法求曲线方程的能力，通过直线与圆锥曲线的位置关系处理，考查学生的运算能力．通过向量与几何问题的综合，考查学生分析转化问题的能力，探究研究问题的能力，并体现了合理消元，设而不解的代数变形的思想．