Question

（2012•泉州模拟）已知向量

a

=（sin2x，cos2x），向量

b

=(

1

2

，-

3

2

)，f（x）=

a

•

b

，x∈[

π

6

，

7π

6

]．
（Ⅰ）试用“五点作图法”作出函数y=f（x）的图象；
（Ⅱ）（ⅰ） 若-1＜f（x）＜0，求x的取值范围；
（ⅱ）若方程f（x）=a（-1＜a＜0）的两根分别为x₁，x₂，试求sin（x₁+x₂）的值．

Answer 1

分析：向量表示错误，请给修改，谢谢．

解答：解：（Ⅰ）f（x）= 

a

•

b

═sin2x•

1

2

+cos2x•(-

3

2

)=sin(2x-

π

3

)．…（3分）
令X=2x-

π

3

，则X∈[0，2π]，x=

X+ π 3

2

．列表：

X	0	π 2	π	3π 2	2π
x	π 6	5π 12	2π 3	11π 12	7π 6
y	0	1	0	-1	0

…（5分）
描点画图，即得函数y=f（x）的图象，如图所示．

…（7分）
（Ⅱ）（ⅰ）-1＜f（x）＜0即-1＜sin(2x-

π

3

)＜0，
∵0≤2x-

π

3

≤2π，∴π＜2x-

π

3

＜2π，且 2x-

π

3

≠

3π

2

∴x的取值范围为(

2π

3

，

11π

12

)∪(

11π

12

，

7π

6

)．…（9分）
（ⅱ）∵x₁，x₂是方程f（x）=a（-1＜a＜0）的两根，
∴x1，x2∈(

2π

3

，

11π

12

)∪(

11π

12

，

7π

6

)，
∵当x∈(

2π

3

，

11π

12

)∪(

11π

12

，

7π

6

)时，函数f（x）的图象关于直线x=

11π

12

对称，…（10分）
∴x1+x2=2×(

11π

12

)=

11π

6

，
∴sin(x1+x2)=sin

11π

6

=sin(-

π

6

)=-

1

2

．…（12分）

点评：本小题主要考查平面向量、三角函数等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想，属于中档题．