Question

在△ABC中，∠B=45°，b=

10

，cosC=

2 5

5

．
（1）求a；
（2）设AB的中点为D，求中线CD的长．

Answer 1

分析：（1）利用同角三角函数的关系和两角和的正弦公式，算出sinA=sin（B+C）=

3 10

10

，再正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

的式子，即可解出a的长；
（2）利用余弦定理算出c=2．设CD=x，根据余弦定理关于三角形中线的定理建立关于x的方程，解得x=

13

，即得AB边的中线CD的长．

解答：解：（1）∵cosC=

2 5

5

，∴sinC=

1-cos2C

=

5

5

可得sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=

2

2

•

2 5

5

+

2

2

•

5

5

=

3 10

10

由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

，得a=

bsinA

sinB

=

10 • 3 10 10

2 2

=3

2

；
（2）∵由余弦定理，得c²=a²+b²-2abcosC
∴c²=18+10-2×3

2

×

10

×

2 5

5

=4，可得c=2
设中线CD=x，则有
∵AB²+（2CD）²=2（BC²+AC²），即c²+4x²=2（a²+b²）
∴4x²=2（a²+b²）-c²=2（18+10）-4=52，解之得x=

13

即AB边的中线CD的长等于

13

．

点评：本题给出三角形的两角和一条边，求一条边和一条中线的长．着重考查了同角三角函数关系、两角和的正弦公式和正余弦定理解三角形等知识，属于中档题．