Question

7．已知函数f（x）=（e^x+1）（ax+2a-2），若存在x∈（0，+∞），使得不等式f（x）-2＜0成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （0，1）
• B． （0，$\frac{3}{2}$）
• C． （-∞，1）
• D． （-∞，$\frac{4}{3}$）

Answer 1

分析 由题意分离出a可得存在x∈（0，+∞），使得不等式a＜$\frac{2}{x+2}$+$\frac{2}{（x+2）（2+{e}^{x}）}$成立，由函数的单调性求出右边式子的最大值可得．

解答 解：由题意可得存在x∈（0，+∞），使得不等式（e^x+1）（ax+2a-2）-2＜0成立，
故可得存在x∈（0，+∞），使得不等式（e^x+1）（ax+2a-2）＜2成立，
即存在x∈（0，+∞），使得不等式a（x+2）＜2+$\frac{2}{2+{e}^{x}}$成立，
即存在x∈（0，+∞），使得不等式a＜$\frac{2}{x+2}$+$\frac{2}{（x+2）（2+{e}^{x}）}$成立，
又可得函数g（x）=$\frac{2}{x+2}$+$\frac{2}{（x+2）（2+{e}^{x}）}$在x∈（0，+∞）单调递减，
∴g（x）＜g（0）=$\frac{4}{3}$，∴实数a的取值范围为（-∞，$\frac{4}{3}$）
故选：D．

点评 本题以特称命题为载体，考查函数的单调性和值域，属中档题．