Question

已知函数f（x）=

bx+c

ax2+1

是R上的奇函数（a，b，c∈Z），f(

1

2

)=

2

5

，f（2）＞

1

3

，
（1）求a，b，c的值；
（2）判断f（x）在（-1，1）上的单调性，并证明；
（3）判断f（x）在（-∞，-1）和（1，+∞）上的单调性（不需要证明），并写出函数f（x）在R上的最值；
（4）利用单调性和奇偶性作出函数f（x）的草图．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合,函数图象的作法,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据条件建立条件关系即可，求a，b，c的值；
（2）根据函数单调性的定义即可证明f（x）在（-1，1）上的单调性；
（3）结合函数单调性和奇偶性的关系即可判断f（x）在（-∞，-1）和（1，+∞）上的单调性；
（4）利用单调性和奇偶性即可作出函数f（x）的草图．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=

bx+c

ax2+1

是R上的奇函数，
∴f（0）=0，即f（0）=c=0，
则f（x）=

bx

ax2+1

，
∵f(

1

2

)=

2

5

，f（2）＞

1

3

，
∴f(

1

2

)=

2

5

=

b 2

a 4 +1

=

2b

a+4

，f（2）=

2b

4a+1

＞

1

3

，
则a+4=5b且6b＞4a+1，
即6b＞4（5b-4）+1，
则14b＜15，即b＜

15

14

，
∵a，b，c∈Z，
∴b=0或b=1，
当b=0时，a=-4不成立，
当b=1时，a=1成立，即a=1，b=1，c=0；
（2）由（1）知a=1，b=1，c=0，则f（x）=

x

x2+1

，
则f（x）为奇函数，
当x∈[0，1）时，设0≤x₁＜x₂＜1，
则f（x₁）-f（x₂）=

x1

x 2 1 +1

-

x2

x 2 2 +1

=

(x2-x1)(x1x2-1)

(x12+1)(x22+1)

，
∵0≤x₁＜x₂＜1，
∴x₂-x₁＜0，x₁x₂-1＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，则f（x₁）＞f（x₂），
即f（x）在[0，1）上为增函数，
∴f（x）在（-1，1）上的单调递增；
（3）f（x）在（-∞，-1）单调递减，（1，+∞）上的单调递减，
则函数f（x）在R上的最大值为f（1）=

1

2

，最小值为f（-1）=-

1

2

；
（4）利用单调性和奇偶性作出函数f（x）的草图如图：

点评：本题主要考查函数解析式的求解，利用函数奇偶性和单调性的定义是解决本题的关键．综合考查函数的性质．