Question

数列{a_n}满足a₁=

3

2

，a_n+1=a_n²-a_n+1（n∈N^*），则m=

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

a2009

的整数部分是（　　）

• A、3
• B、2
• C、1
• D、0

Answer 1

分析：由题设知，a_n+1-1=a_n（a_n-1），故

1

an-1

-

1

an+1-1

=

1

an

，累加得m=

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

a2009

=

1

a1-1

-

1

a2010-1

=2-

1

a2010-1

．由a_n+1-a_n=（a_n-1）²≥0，知a₂₀₁₀≥a₂₀₀₉≥a₂₀₀₈≥a₃＞2，0＜

1

a2010-1

＜1，故1＜m＜2，所以m的整数部分为1．

解答：解：由题设知，a_n+1-1=a_n（a_n-1），

1

an+1-1

=

1

an(an-1)

=

1

an-1

-

1

an

，
∴

1

an-1

-

1

an+1-1

=

1

an

，
通过累加，得
m=

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

a2009

=

1

a1-1

-

1

a2010-1

=2-

1

a2010-1

．
由a_n+1-a_n=（a_n-1）²≥0，
即a_n+1≥a_n，
由a1=

3

2

，
得a2=

7

4

，
得a₃=

37

16

．
∴a₂₀₁₀≥a₂₀₀₉≥a₂₀₀₈≥a₃＞2，
∴0＜

1

a2010-1

＜1，
∴1＜m＜2，
所以m的整数部分为1．
故选C．

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地运用数列的递推式．