Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）短轴端点和两个焦点的连线构成正方形，且该正方形的内切圆方程为x²+y²=2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若抛物线E：y²=2px（p＞0）的焦点与椭圆C的一个焦点F重合，直线l：y=x+m与抛物线E交于两点A，B，且0≤m≤1，求△FAB的面积的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）根据题意，得出连接椭圆一个短轴端点与一个焦点的直线方程，由直线与圆相切，求出b、c以及a的值即可；
（2）求出抛物线E的方程，由

y=x+m y2=8x

，得x²+（2m-8）x+m²=0，利用根与系数的关系，结合弦长公式，求出直线l被抛物线E所截得弦长|AB|，得出△FAB面积表达式，利用导数求出最值来．

解答： 解：（1）设椭圆的焦距为2c，根据题意得b=c；
连接一个短轴端点与一个焦点的直线方程可以是

x

c

+

y

b

=1，
即x+y-b=0；
由直线与圆相切得

|b|

2

=

2

，
∴b=2，c=2；
∴a²=b²+c²=8，
∴椭圆C的方程为

x2

8

+

y2

4

=1；（6分）
（2）∵抛物线E的焦点在x轴的正半轴上，
∴F（2，0），p=4，
∴抛物线E的方程为y²=8x；
由

y=x+m y2=8x

，得x²+（2m-8）x+m²=0，
由直线l与抛物线E有两个不同交点，
得△=（2m-8）²-4m²=64-32m＞0在0≤m≤1时恒成立；
设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=8-2m，x₁x₂=m²；
则|AB|=

2

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

(8-2m)2-4m2

=8

2-m

；
又∵点F（2，0）到直线l：y=x+m的距离为d=

|m+2|

2

，
∴△FAB的面积为
S=

1

2

d•|AB|=2

2

-m3-2m2+4m+8

；
令f（m）=-m³-2m²+4m+8，
则f'（m）=-3m²-4m+4；
令f'（m）=0，得m=-2或

2

3

，
∴f（m）在[0，

2

3

]上单调递增，在[

2

3

，1]上单调递减，
∴当m=

2

3

时，f（m）取最大值

256

27

，
即△FAB的面积的最大值为

32 6

9

．（12分）

点评：本题考查了椭圆的定义与标准方程的应用问题，也考查了椭圆的几何性质的应用问题，直线与椭圆的综合应用问题，是综合题目．