Question

5．在△ABC中，若$\frac{a}{b}$=$\frac{b+\sqrt{3}c}{a}$，sinC=2$\sqrt{3}$sinB，则tanA=（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． 1
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 由$\frac{a}{b}$=$\frac{b+\sqrt{3}c}{a}$，sinC=2$\sqrt{3}$sinB，化为a²-b²=$\sqrt{3}$bc，c=2$\sqrt{3}$b，再利用余弦定理可得A．

解答 解：在△ABC中，∵$\frac{a}{b}$=$\frac{b+\sqrt{3}c}{a}$，sinC=2$\sqrt{3}$sinB，
∴a²-b²=$\sqrt{3}$bc，c=2$\sqrt{3}$b，
∴a²=b²+$\sqrt{3}b×2\sqrt{3}b$=7b²．
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{{b}^{2}+12{b}^{2}-7{b}^{2}}{2b×2\sqrt{3}b}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{6}$
则tanA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故选：A．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．