Question

如图，平行四边形AMBN的周长为8，点M，N的坐标分别为．
（Ⅰ）求点A，B所在的曲线方程；
（Ⅱ）过点C（-2，0）的直线l与（Ⅰ）中曲线交于点D，与Y轴交于点E，且l∥OA，求证：为定值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由平行四边形对边相等，知|AM|+|AN|=|BM|+|BN|=4，由椭圆的定义，知点A，B所在的曲线是椭圆；且2a=4，c=，所以椭圆的方程可求；
（Ⅱ）如图，设过点C的直线l方程为：y=k（x+2），与椭圆方程组成方程组，得交点D的坐标，直线l与Y轴相交，得点E的坐标，从而得向量，的坐标表示；又OA∥l，可设OA的方程为：y=kx，与椭圆方程组成方程组，得交点A的坐标，从而得的坐标表示，代入计算即可．
解答：解：（Ⅰ）因为四边形AMBN是平行四边形，周长为8，
所以两点A，B到M，N的距离之和均为4，可知所求曲线为椭圆；
由椭圆定义可知，，b=1；
所求曲线方程为：（y≠0）；
（Ⅱ）由已知，直线l的斜率存在，又直线l过点C（-2，0），
设直线l的方程为：y=k（x+2），
代入曲线方程，并整理得：（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0；
点C（-2，0）在曲线上，所以D（，）；
E（0，2k），=，；
因为OA∥l，所以设OA的方程为：y=kx；
代入曲线方程，并整理，得：（1+4k²）x²=4；
所以，；则
所以，为定值．
点评：本题考查了椭圆的定义，直线与椭圆知识的综合应用，以及向量在解析几何中的应用；借助于图形能帮助我们解决问题．