Question

已知椭圆的焦点为F₁（-t，0），F₂（t，0），（t＞0），P为椭圆上一点，且|F₁F₂|是|PF₁|，|PF₂|的等差中项．
（1）求椭圆方程；
（2）如果点P在第二象限且∠PF₁F₂=120⁰，求tan∠F₁PF₂的值；
（3）设A是椭圆的右顶点，在椭圆上是否存在点M（不同于点A），使∠F₁MA=90°，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据椭圆和数列的基本性质以及题中已知条件便可求出a和b值，进而求得椭圆方程；
（2）设|PF₁|=d₁，|PF₂|=d₂，利用F₁F₂|是|PF₁|，|PF₂|的等差中项及余弦定理，正弦定理可求tan∠F₁PF₂的值；
（3）假设椭圆上存在一点M，使∠F₁MA=90°，则|MF₁|²+|MA|²=|AF₁|²，计算出点M的坐标，即可判断这样的M点是否存在．

解答：解：（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，则2a=|PF₁|+|PF₂|=2|F₁F₂|=2•2t，∴a=2t，b²=a²-c²=3t²，
所以所求椭圆方程为

x2

4t2

+

y2

3t2

=1．
（2）设|PF₁|=d₁，|PF₂|=d₂，则

d 2 2 = d 2 1 +|F1F2|2-2d1|F1F2|cos1200 d1+d2=4t.

解方程组，得d1=

6

5

t，d2=

14

5

t．
由正弦定理，得

2t

sin∠F1PF2

=

14t 5

sin1200

，∴sin∠F1PF2=

5 3

14

，∴tan∠F1PF2=

5 3

11

．
（3）若椭圆上存在一点M（x₁，y₁），使∠F₁MA=90°，则|MF₁|²+|MA|²=|AF₁|²，即（x₁+t）²+y₁²+（x₁-2t）²+y₁²=（2t+t）²．
化简，得 x₁²+y₁²-tx₁-2t²=0①
又    3t²x₁²+4t²y₁²=12t⁴②
由①、②，整理，得  x₁²-4tx₁+4t²=0’，∴x₁=2t，y₁=0，
所以点M与右顶点A重合，矛盾．所以这样的M点是不存在的．

点评：本题主要考查椭圆标准方程，考查是否存在性问题，一般来说，是否存在性问题，通常假设存在，从而转化为封闭型命题求解．