Question

已知函数f（x）=2sin²（

π

4

+x）-

3

cos2x-1，x∈R．若函数h（x）=f（x+t）的图象关于点（-

π

6

，0）对称，且t∈（0，π），则t的值是

π

3

或

5π

6

．

Answer 1

分析：利用两角和差的正弦公式、二倍角公式化简函数的解析式为f（x）=2sin（2x-

π

3

），可得函数h（x）=2sin（2x+2t-

π

3

），再由 h（-

π

6

）=0 可得2t-

2π

3

=0 或 π，由此解得t的值．

解答：解：∵函数f（x）=2sin²（

π

4

+x）-

3

cos2x-1=2•

1-cos( π 2 +2x)

2

-

3

cos2x-1=1+sin2x-

3

cos2x-1=2（

1

2

sin2x-

3

2

sin2x）
=2sin（2x-

π

3

 ），
∴函数h（x）=f（x+t）=2sin（2x+2t-

π

3

），且它的图象关于点（-

π

6

，0）对称，且t∈（0，π），
∴h（-

π

6

）=0，即 2sin（2t-

2π

3

）=0，
∴2t-

2π

3

=0 或 π，解得t=

π

3

或

5π

6

，
故答案为

π

3

 或

5π

6

．

点评：本题主要考查两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用，正弦函数的对称性，属于中档题．