Question

已知等差数列{a_n}的首项为a，公差为b，等比数列{b_n}的首项为b，公比为a，n=1，2，…，其中a，b均为正整数，且a₁＜b₁＜a₂＜b₂＜a₃．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若对于{a_n}，{b_n}，存在关系式a_m+1=b_n，试求b的值；
（Ⅲ）对于满足（Ⅱ）中关系式的a_m，试求a₁+a₂+…+a_m．

Answer 1

解：（I）由题设知，a_n=a+（n-1）b，（1分）
由已知可得，a＜b＜a+b＜ab＜a+2b
∴b＜ab，a＞1（2分）
∴ab＜a+2b＜3b又∵b＞0
∴a＜3（3分）
∵a为正整数
∴a=2（4分）
（II）a_m+1=b_n，可得a+（m-1）+1=b•a^n-1（5分）
∵a=2
∴3+（m-1）b=b•2^n-1则（6分）
∵b＞a=2且b为正整数∴2^n-1-（m-1）=1（7分）
∴b=3（8分）
（III）由（II）知，m=2^n-1，a_n=3n-1
∴a₁+a₂+…+a_m=（3•1-1）+（3•2-1）+…（3•2^n-1-1）（9分）
=
=（11分）
=3•2^2n-3+2^n-2（12分）
分析：（I）由题设可求，a_n，b_n，结合已知a₁＜b₁＜a₂＜b₂＜a₃．可得a＜3，由a为正整数可求a
（II）由a_m+1=b_n，a=2可求得，由b＞a=2且b为正整数 可求
（III）由（II）知，m=2^n-1，a_n=3n-1，代入a₁+a₂+…+a_m=（3•1-1）+（3•2-1）+…（3•2^n-1-1），利用分组求和，结合等差数列的求和公式可求
点评：本题主要考查了等差数列与等比数列的通项公式的应用，求和公式的应用，解答本题还要求考生具备一定的综合应用知识的能力