Question

如图，已知球的半径为定值R，球内接圆锥的高为h（h＞R），体积为V，
（1）写出以h表示V的函数关系式V（h）；
（2）当h为何值时，V（h）有最大值，并求出该最大值．

Answer 1

分析：（1）连接OC，设O′C=r，有OC=R，O′O=h-R，确定h与r的关系，即可以h表示V的函数关系式V（h）；
（2）利用基本不等式，即可求最大值．

解答：解：（1）连接OC，设O′C=r，有OC=R，O′O=h-R，
则有（h-R）²+r²=R²，即r²=2Rh-h²．
∴V（h）=

1

3

πr2h=

2πRh2

3

-

πh3

3

（R＜h＜2R）
（2）V（h）=

1

6

π(4R-2h)•h•h≤

π

6

•(

4R-2h+h+h

3

)3=

32

82

πR3
不等式取等号条件为4R-2h=h，即当h=

4

3

R时，V（h）有最大值

32

82

πR3．

点评：本题考查函数模型的建立，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．