Question

（2012•济宁一模）已知函数f（x）=

3

sin（x-?）cos（x-?）-cos²（x-?）+

1

2

（0≤?≤

π

2

）为偶函数．
（I）求函数的最小正周期及单调减区间；
（II）把函数的图象向右平移

π

6

个单位（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，求函数g（x）的对称中心．

Answer 1

分析：（I）把函数解析式第一项利用二倍角的正弦函数公式化简，第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，合并整理后，再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，即为函数解析式的最简形式，即可求出最小正周期以及单调区间；
（II）由题意根据平移变换求出函数的解析式，然后求出函数的对称中心即可．

解答：解：（I）函数f（x）=

3

sin（x-?）cos（x-?）-cos²（x-?）+

1

2

=

3

2

sin（2x-2φ）-

1

2

（2cos²φ-1）=

3

2

sin（2x-2φ）-

1

2

cos（2x-2φ）
=sin（2x-2φ-

π

6

）
函数f（x） 为偶函数，则-2φ-

π

6

=kπ，k∈z
∵0≤?≤

π

2

∴φ=

5π

12

∴f（x）=sin（2x-π）=-sin2x
∴函数的最小正周期T=

2π

2

=π
令2x∈[-

π

2

+2kπ，

π

2

+2kπ]k∈Z  解得：-

π

4

+kπ≤x≤

π

4

+kπ
∴函数f（x）的单调递减区间为[-

π

4

+kπ，

π

4

+kπ]k∈Z
（II）由（I）知f（x）=-sin2x
由题意知g（x）=-sin[2（x-

π

6

）]=-sin（2x-

π

3

）
令2x-

π

3

=kπ（k∈Z），则x=

π

6

+

kπ

2

 （k∈Z），
∴函数的对称中心坐标为（

π

6

+

kπ

2

，0）（k∈Z）．

点评：本题主要考查了三角变换公式在三角化简和求值中的应用，y=Acos（ωx+φ）型函数的图象和性质，简单的三角方程的解法．