Question

设数列{a_n}满足a_n+1=a_n²-na_n+1，n=1，2，3…当a₁≥3时，证明对所有的n∈正整数都有

1

1+a1

+

1

1+a2

+…+

1

1+an

＜

1

2

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：用数学归纳法证明a_n≥n+2．从而得到

1

1+an

≤

1

1+a1

•

1

2k-1

，k≥2，由此利用放缩法能证明

1

1+a1

+

1

1+a2

+…+

1

1+an

＜

1

2

．

解答： 证明：用数学归纳法证明a_n≥n+2．
①当n=1时，a₁≥3=1+2，不等式成立；
②假设当n=k时不等式成立，即a_k≥k+2，
那么，a_k+1=a_k（a_k-k）+1≥（k+2）（k+2-k）+1≥k+3，
也就是说，当n=k+1时，a_k+1≥（k+1）+2，
根据①和②，对于所有n≥1，有a_n≥n+2．
∵a_n+1=a_n²-na_n+1=a_n（a_n-n）+1，a_n≥n+2，
∴对k≥2，有a_k=a_k-1（a_k-1-k+1）
≥a_k-1（k-1+2-k+1）+1=2a_k-1+1，
∴ak≥2k-1a1+2k-2+…+2+1=2^k-1（a₁+1）-1，
于是

1

1+an

≤

1

1+a1

•

1

2k-1

，k≥2，
∴

n

k=1

1

1+ak

≤

1

1+a1

+

1

1+a1

•

n

k=2

1

2k-1

=

1

1+a1

n

k=1

1

2k-1

≤

2

1+a1

≤

2

1+3

=

1

2

．
∴

1

1+a1

+

1

1+a2

+…+

1

1+an

＜

1

2

．

点评：本题考查不等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意数学归纳法和放缩法的合理运用．