Question

已知数列{a_n}的前n项之和为S_n，S_n与a_n满足关系S_n=2-

n+2

n

an（n∈N^*）
（1）求a_n+1与a_n的关系式，并求a₁的值；
（2）证明：数列{

an

n

}是等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（3）是否存在常数p使数列{a_n+1-pa_n}为等比数列？若存在，请求出常数p的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由a₁=S₁=2-3a₁，解得a1=

1

2

．n≥2时，由a_n=S_n-S_n-1=（2-

n+2

n

an）-（2-

n+1

n-1

an-1），推导出a_n+1=

n+1

2n

an．
（2）由（1）知

an+1

n+1

=

1

2

•

an

n

，

a1

1

=

1

2

，由此能证明{

an

n

}是首项为

1

2

，公比为

1

2

的等比数列，从而求出an=n•(

1

2

)n．
（3）若存在常数p使数列{a_n+1-pa_n}为等比数列，则

( 1 2 )n( 1 2 n+ 1 2 -pn)

( 1 2 )n-1( 1 2 n- 1 2 -pn+p)

=

1

2

•

1 2 n+ 1 2 -pn

1 2 n-pn+p

为常数，由此能求出p=

1

2

时，数列{a_n+1-pa_n}为等比数列．

解答： （1）解：∵S_n与a_n满足关系S_n=2-

n+2

n

an（n∈N^*），
∴a₁=S₁=2-3a₁，解得a1=

1

2

．
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2-

n+2

n

an）-（2-

n+1

n-1

an-1）
=

n+1

n-1

an-1-

n+2

n

an．
∴an=

n

2(n-1)

an-1，
∴a_n+1=

n+1

2n

an．
（2）证明：∵a_n+1=

n+1

2n

an，
∴

an+1

n+1

=

1

2

•

an

n

，∵

a1

1

=

1

2

，
∴{

an

n

}是首项为

1

2

，公比为

1

2

的等比数列，
∴

an

n

=(

1

2

)n，
∴an=n•(

1

2

)n．
（3）解：a_n+1-pa_n=（n+1）•（

1

2

）ⁿ⁺¹-np-（

1

2

）ⁿ=（

1

2

）ⁿ（

1

2

n+

1

2

-pn），
若存在常数p使数列{a_n+1-pa_n}为等比数列，
则

( 1 2 )n( 1 2 n+ 1 2 -pn)

( 1 2 )n-1( 1 2 n- 1 2 -pn+p)

=

1

2

•

1 2 n+ 1 2 -pn

1 2 n-pn+p

为常数

1

2

，
∴p=

1

2

，
即p=

1

2

时，数列{a_n+1-pa_n}为等比数列．

点评：本题考查a_n+1与a_n的关系式，并求a₁的值，考查等比数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查满足等比数列的常数是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．