Question

已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合，且两个坐标系的单位长度相同，直线l₁的参数方程为

x=2+3t y=1+mt

（t为参数），直线l₂的极坐标方程为ρ（3cosθ+4sinθ）=4，直线l₁与l₂垂直．
（1）求实数m的值；
（2）曲线C的参数方程为

x=3cosθ y=2sinθ

（θ为参数），曲线C与直线l₁交于A，B两点，求点M（2，1）到A，B两点的距离之积．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）把直线l₁、l₂的方程化为普通方程，由l₁⊥l₂，求出m的值；
（2）由m=4，把l₁参数方程化为

x=2+ 3 5 t y=1+ 4 5 t

，C的参数方程化为普通方程，
把l₁的参数方程代入C的普通方程，由根与系数的关系，求出|t₁|•|t₂|的大小．

解答： 解：（1）直线l₁的参数方程为

x=2+3t y=1+mt

（t为参数），
化为普通方程是mx-3y+3-2m=0；
直线l₂的极坐标方程为ρ（3cosθ+4sinθ）=4，
化为普通方程是3x+4y=4；
又∵直线l₁⊥l₂，
∴3m-3×4=0，
∴m=4；
（2）∵m=4，
∴l₁的参数方程可化为

x=2+ 3 5 t y=1+ 4 5 t

（t为参数）；
又∵C的参数方程

x=3cosθ y=2sinθ

（θ为参数）化为普通方程是，

x2

9

+

y2

4

=1；
把l₁的参数方程代入得4（2+

3

5

t）²+9(1+

4

5

t)2=36；
即36t²+120t-55=0，
∴t₁•t₂=-

55

36

，
∴|t₁|•|t₂|=|t₁t₂|=

55

36

；
即点M（2，1）到A，B两点的距离之积为

55

36

．

点评：本题考查了参数方程与极坐标的应用问题，解题时应把参数方程与极坐标方程化为普通方程，并结合参数的几何意义进行解答，是中档题．