Question

已知数列{a_n}（n∈N^*）中，前n项和为S_n，且S_n=2n-a_n，n∈N^*．
（1）求{a_n}的前5项；
（2）猜想a_n，并用数学归纳法证明．

Answer 1

考点：数学归纳法

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）令n=1、2、3、4、5，再利用公式S_n=2n-a_n可以直接求出出数列{a_n} 的前5项．
（2）猜想  an=

2n-1

2n-1

；再根据数学归纳法的证题步骤进行证明．

解答： 解：（1）S_n=2n-a_n，n∈N^*．
计算得：a₁=1，a₂=

3

2

，a₃=

7

4

，a₄=

15

8

，a₅=

31

16

，
{a_n}的前5项1，

3

2

，

7

4

，

15

8

，

31

16

；
（2）猜想  a_n=

2n-1

2n-1

；
下面用数学归纳法证明
①n=1时，成立；
②假设当n=k时成立，即a_k=

2k-1

2k-1

则当n=k+1时，由S_k+1=2（k+1）-a_k+1，得S_k+1-a_k+1=2（k+1）-2a_k+1，
∴S_k=2（k+1）-2a_k+1，
∴2k-a_k=2（k+1）-2a_k+1，
∴a_k+1=

2k+1-1

2(k+1)-1

．
这就是说，当n=k+1时，等式也成立．
由①②可知a_n=

2n-1

2n-1

 对n∈N^•均成立．

点评：本题主要考查数列求和和数列递推式的知识点，求数列递推式可以用数学归纳法也可以直接利用a_n=S_n-S_n-1可求出a_n的通项公式