Question

已知函数f（x）=ax²+bx+1（a，b为实数，a≠0，x∈R），F（x）=

f(x) ， x＞0 -f(x) ， x＜0

．
（1）若f（-1）=0，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求F（x）的表达式；
（2）设mn＜0，m+n＞0，a＞0，且函数f（x）为偶函数，判断F（m）+F（n）是否大于0？
（3）设g（x）=

lnx+1

ex

，当a=b=1时，证明：对任意实数x＞0，[F（x）-1]g′（x）＜1+e^-2（其中g′（x）是g（x）的导函数）．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,二次函数的性质

专题：导数的综合应用

分析：（1）根据条件f（-1）=0，且函数f（x）的值域为[0，+∞），建立条件关系即可求F（x）的表达式；
（2）根据函数奇偶性的性质结合条件mn＜0，m+n＞0，a＞0，即可判断F（m）+F（n）是否大于0？
（3）求函数的导数，利用导数研究函数的单调性即可证明不等式．

解答： 解：（1）因为f（-1）=0，所以a-b+1=0，
因为f（x）的值域为[0，+∞），所以

a＞0 △=b2-4a=0

，
所以b²-4（b-1）=0⇒b=2，a=1，所以f（x）=（x+1）²，
所以F(x)=

(x+1)2 ，&x＞0 -(x+1)2 ，&x＜0

；                                     
（2）因为f（x）是偶函数，所以b=0，即f（x）=ax²+1，
又a＞0，所以F(x)=

ax2+1 ，&x＞0 -ax2-1 ，&x＜0

，
因为mn＜0，不妨设m＞0，
则n＜0，又m+n＞0，所以m＞-n＞0，
此时F（m）+F（n）=am²+1-an²-1=a（m²-n²）＞0，
所以F（m）+F（n）＞0；                                           
（3）因为x＞0，所以F（x）=f（x）=ax²+bx+1，
又a=b=1，则F（x）-1=x²+x，
因为g(x)=

lnx+1

ex

，所以g′(x)=

1 x -lnx-1

ex

则原不等式证明等价于证明“对任意实数x＞0，(x2+x)•

1 x -lnx-1

ex

＜1+e-2，
即 

1+x

ex

•(1-xlnx-x)＜1+e-2．
先研究 1-xlnx-x，再研究

1+x

ex

．
①记m（x）=1-xlnx-x，x＞0，m′（x）=-lnx-2，
令m′（x）=-lnx-2=0，得x=e^-2，
当x∈（0，e^-2）时，m′（x）＞0，m（x）单增；当x∈（e^-2，+∞）时，m′（x）＜0，m（x）单减．
所以，m（x）的最大值m（e^-2）=1+e^-2，即1-xlnx-x≤1+e^-2．
②记n（x）=

1+x

ex

，x＞0，n′（x）=-

x

ex

＜0，
所以n（x）在（0，+∞）单减，
所以，n（x）＜n（0）=1，即

1+x

ex

＜1．
综上①、②知，g（x）=

1+x

ex

(1-xlnx-x)≤

1+x

ex

(1+e-2)＜1+e-2．
即原不等式得证，对任意实数x＞0，[F（x）-1]g'（x）＜1+e^-2．

点评：本题主要考查函数解析式的求解，函数奇偶性的应用，以及函数单调性和导数之间的关系，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．