Question

已知F₁（-1，0），F₂（1，0）为椭圆C的焦点，且椭圆C过点P（1，

3

2

）
（1）求椭圆的方程
（2）过点F₁的直线l交椭圆于A，B两点，求△ABF₂的面积S的最大值，并求此时直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）当PQ与x轴垂直时，tan∠F1PF2=

4

3

，可得a=2c，结合

a2

c

=4，求出a，b，c，即可求出椭圆的方程；
（2）设过F₁的直线：x=my-1，代入

x2

4

+

y2

3

=1消去x并整理得（3m²+4）y²-6my-9=0，S△ABF2=

1

2

×2c×|y₁-y₂|=

12

3 m2+1 + 1 m2+1

，由韦达定理即可用m表示出S△ABF2，换元后根据函数单调性即可求得面积的最大值及此时m值．

解答： 解：（1）当PQ与x轴垂直时，tan∠F1PF2=

4

3

得tan∠F1PF2=

2c

b2 a

=

4

3

，得

ac

b2

=

2

3

即a=2c--------------（2分）
又

a2

c

=4解得c=1，a=2，b=

3

故所求椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）由点F₁（-1，0），F₂（1，0），可设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
设过F₁的直线：x=my-1，代入

x2

4

+

y2

3

=1得（3m²+4）y²-6my-9=0
∴y₁+y₂=

6m

3m2+4

，y₁y₂=

-9

3m2+4

，
∴|y₁-y₂|=

12 m2+1

3m2+4

，
∴S△ABF2=

1

2

×2c×|y₁-y₂|=

12

3 m2+1 + 1 m2+1

，
令t=

m2+1

，则t≥1，S△ABF2=

12

3t+ 1 t

，
又(3t+

1

t

)′=3-

1

t2

＞0，
∴3t+

1

t

递增，∴(3t+

1

t

)_min=3×1+1=4，当t=1即m=0时取等号，
∴S△ABF2≤

12

4

=3，
当m=0时，面积S最大为3，此时直线方程为x=-1．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及椭圆方程的求解，考查函数思想在解决问题中的应用，属中档题．