Question

若函数f（x）=ax³+bx²+cx在x=±1处取得极值，且在x=0处的切线的斜率为-3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若过点A（2，m）可作曲线y=f（x）的2条切线，求实数m的值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,函数解析式的求解及常用方法

专题：导数的综合应用

分析：（1）由函数f（x）=ax³+bx²+cx在x=±1处取得极值，且在x=0处的切线的斜率为-3，求导可得±1是f′（x）=0的两根，且f′（0）=-3，解方程组即可求得，a，b，c的值，从而求得f（x）的解析式；
（2）设切点，求切线方程，得到m=-2x₀³+6x₀²-6，要求过点A（2，m）可作曲线y=f（x）的2条切线，即求m=-2x₀³+6x₀²-6有两个零点，画出函数的草图，即可求得实数m的取值．

解答： 解：（1）f'（x）=3ax²+2bx+c
依题意

f′(1)=3a+2b+c=0 f′(-1)=3a-2b+c=0

 ①
又f'（0）=-3，
∴c=-3，
代入①解得a=1，b=0，
∴f（x）=x³-3x；
（2）设切点为（x₀，x₀³-3x₀），
∵f'（x）=3x²-3，
∴f'（x₀）=3x₀²-3，
∴切线方程为y-（x₀³-3x₀）=（3x₀²-3）（x-x₀）．
又切线过点A（2，m），
∴m-（x₀³-3x₀）=（3x₀²-3）（2-x₀），
∴m=-2x₀³+6x₀²-6．
令g（x）=-2x³+6x²-6，
则g'（x）=-6x²+12x=-6x（x-2），
由g'（x）=0，得x=0或x=2，
∴g（x）_极小值=g（0）=-6，g（x）_极大值=g（2）=2
画出草图知，当m=-6或m=2时，m=-2x³+6x²-6有两解，
即过点A（2，m）可作曲线y=f（x）的2条切线，
∴实数m的取值是-6或2．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性和极值问题，考查利用导数研究曲线上某点的切线问题，体现了数形结合的数学思想方法和数学转化思想方法，考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力，是中高档题．