Question

函数y=Asin（ωx+∅）（A＞0，ω＞0，|∅|＜π）的图象上有两个相邻的最高点P（

π

4

，5）和最低点Q（-

π

12

，-5）．求
（Ⅰ）此函数的解析式；
（Ⅱ）说明此函数的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变换得到？

Answer 1

分析：（I）由函数的最值，得到A=5．根据两个相邻最值点的距离，得到周期T=

2π

3

，利用周期公式算出ω=3．再根据x=

π

4

时函数有最大值5建立关于∅的等式，解出∅=-

π

4

即可得到所求函数的解析式；
（II）根据三角函数图象平移、伸缩的公式，结合函数的表达式加以计算，即可得出由y=sinx的图象到所求函数的图象所需经过的变换．

解答：解：（I）∵图象上有两个相邻的最高点P（

π

4

，5）和最低点Q（-

π

12

，-5）．
∴振幅A=5，函数的周期T=2[

π

4

-（-

π

12

）]=

2π

3

，
可得

2π

ω

═

2π

3

，解之得ω=3．
可得函数表达式为y=5sin（3x+∅）．
∵当x=

π

4

时，函数有最大值5，
∴5=5sin（3•

π

4

+∅），得sin（

3π

4

+∅）=1，
可得

3π

4

+∅=

π

2

+2kπ（k∈Z），结合|∅|＜π，取k=0得∅=-

π

4

．
∴此函数的解析式为y=5sin（3x-

π

4

）；
（2）由三角函数的变换公式，将y=sinx的图象向右平移

π

4

单位，得到y=sin（x-

π

4

）的图象；
再将所得图象上点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的

1

3

倍，得到y=sin（3x-

π

4

）的图象；
最后将所得图象上点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的5倍，得到y=5sin（3x-

π

4

）的图象．
∴函数y=5sin（3x-

π

4

）的图象，可由y=sinx的图象先向右平移

π

4

单位，再将所得图象上点的纵坐标不变且横坐标缩短为原来的

1

3

倍，最后将所得图象上点的横坐标不变且纵坐标伸长为原来的5倍而得到．

点评：本题给出正弦型三角函数的图象满足的条件，求它的解析式．着重考查了三角函数的周期公式、三角函数的图象的变换与解析式的求法等知识，属于中档题．