Question

已知函数f（x）=2x+alnx（a∈R）
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围；
（3）若函数f（x）的最小值为h（a），m，n为h（a）定义域A中的任意两个值，求证：．

Answer 1

（1）解：求导函数，可得
令f′（x）=0得
当a≥0时，f′（x）≥0，∴函数f（x）=2x+alnx在区间（0，+∞）上单调递增；
当a＜0时，若，则f′（x）＜0；若，则f′（x）＞0
∴函数f（x）=2x+alnx在区间上单调递减，在区间上单调递增．
综上所述，当a≥0时，函数f（x）的单调增区间为（0，+∞）；
当a＜0时，函数f（x）的单调减区间为，单调增区间为．…（4分）
（2）解：由（1）知，当a≥0时，函数f（x）至多有一个零点，不符合题意，∴a＜0
又由（1）知，若a＜0，则函数f（x）在处取得极小值
∴函数f（x）有两个零点
∴，解得a＜-2e
∴a的取值范围是（-∞，-2e）（8分）
（3）证明：由（1）（2）知，当a≥0时，函数f（x）无最小值；
当a＜0时，
对于?m，n∈（-∞，0）且m≠n，有=（10分）
不妨设m＜n＜0，则，令，则
设
则，当且仅当t=1时取“=”
所以函数u（t）在[1，+∞）上单调递增，
故t＞1时，u（t）＞u（1）=0
又n＜0，∴，即
所以（14分）
分析：（1）求导函数，令f′（x）=0得，再分类讨论：当a≥0时，f′（x）≥0；当a＜0时，若，则f′（x）＜0；若，则f′（x）＞0，由此可得函数的单调区间；
（2）先判断a＜0，函数f（x）在处取得极小值，再根据函数f（x）有两个零点，建立不等式，即可求得a的取值范围；
（3）由（1）（2）知，当a≥0时，函数f（x）无最小值；当a＜0时，，利用作差法，再构建函数，利用导数，即可证得结论．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查不等式的证明，考查构造函数，综合性强，难度大．