Question

如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，点P在棱BB₁上运动（不含B，B₁两点），求△APC₁的面积S的最小值．

Answer 1

分析：建立空间直角坐标系后，设PB₁=t，在AC₁上任取一点Q，要使△APC₁的面积S最小，必有

PQ

⊥

AC1

与

PQ

⊥

B1B

，
求点P，Q的坐标后，即可求出三角形高的最小值，由此可求S的最小值．

解答：解：以D₁为原点，D₁A₁为x轴，D₁C₁为y轴，D₁D为z轴建立空间直角坐标系，
设PB₁=t（0＜t＜1），则A（1，0，1），C₁（0，1，0），P（1，1，t），在AC₁上任取一点Q（a，b，c），
由

AQ

=λ

AC1

，得（a-1，b，c-1）=λ（-1，1，-1），
∴a=1-λ，b=λ，c=1-λ，
令x=1-λ，有Q（x，1-x，x），又

AC1

=(-1，1，-1)，

B1B

=(0，0，1)，

PQ

=(x-1，-x，x-z)，
当△APC₁的面积S的最小时，|

PQ

|最小，必有

PQ

⊥

AC1

，

PQ

⊥

B1B

，
得

PQ • AC1 =0 PQ • B1B =0

，∴

(x-1，-x，x-t)•(-1，1，-1)=0 (x-1，-x，x-t)•(0，0，1)=0

⇒

1-3x+t=0 x-t=0

，
解得x=t=

1

2

，这时|

PQ

|=|(-

1

2

，-

1

2

，0)|=

2

2

，即|

PQ

|≥

2

2

，又|

AC1

|=

3

．
∴△APC₁的面积S=

1

2

|

AC1

|•|

PQ

|≥

6

4

，即△APC₁的面积S的最小值为

6

4

．

点评：本题考点是点、线、面间的距离的计算，由于本题易于建立空间直角坐标系求距离，进而求△APC₁的面积，所以选用了“坐标法”，但要注意过程中的细节处理，尽一切可能的降低运算量，如令x=1-λ．若用“几何法”，易产生漏洞，因位置关系判断不准而致求△APC₁的面积出错．