Question

【题目】已知函数，.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若存在与函数，的图象都相切的直线，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）对h（x）求导，得，对，分别讨论，得单调区间；

（2）设f（x）在点（x1，f（x1））与g（x）在点（x2，f（x2））处切线相同，则，分别求得导数和切线的斜率，构造新函数 ，求出导数和单调区间，最值，运用单调性计算可得a的范围．

（1）函数的定义域为,，

所以

所以当即时，，在上单调递增；

当即时，

当时，在上单调递增；

当时，令得

	+	-	+
	增	减	增

综上：当时，在上单调递增；当时在，单调递增，在单调递减.

（2）设函数在点与函数在点处切线相同，

，则，

由，得，再由

得，把代入上式得

设（∵x2＞0，∴x∈（0，+∞））,

则 不妨设.

当时，，当时，

所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，

把代入可得：

设，则对恒成立，

所以在区间上单调递增，又

所以当时，即当时,

又当时，

因此当时，函数必有零点；即当时，必存在使得成立；

即存在使得函数在点与函数在点处切线相同．

又由单调递增得，因此

所以实数的取值范围是．