Question

某学生在体育训练时弄伤了膝关节，医生给开了一些消炎药，并叮嘱早晚8点各服用一片药片．现知道该药片每片220毫克，他的肾脏每12小时从体内滤出该药的60%；并且如果这种要在体内的残留量超过386毫克就会产生副作用．问：
（1）该生上午8点第一次服药，则第2天上午服完药时，药在他体内还残留多少？
（2）若该生长期服用该药，会不会产生副作用？

Answer 1

解：（1）设该生第n次服药后，药在他体内的残留量为a_n毫克，
则：a₁=220，a₂=220+a₁×（1-60%）=220×1.4=308
a₃=220+a₂×（1-60%）=220+220×1.4×0.4
=343.2 （4分）
故第二天早间，他第三次服空药后，药在他体内的残留量为343.2毫克
（2）由a_n=220+4a_n-1得：a_n-=0.4（a_n-1-）（n≥2）
∴{a_n-}是一个以a₁-为首项，0.4为公比的等比数列
∴a_n-=（a₁-）•（0.4）^n-1＜0
∴a_n＜＜386
即该生长期服用该药，不会产生副作用
分析：（1）由已知中，该药片每片220毫克，他的肾脏每12小时从体内滤出该药的60%，我们可设该生第n次服药后，药在他体内的残留量为a_n毫克，由于上午8点第一次服药，则第2天上午服完药时共服了3次药，依次计算出a₁，a₂，a₃的值，即可得到第2天上午服完药时，药在他体内还残留量；
（2）由已知可得第n次服药后，药在他体内的残留量为a_n满足：a_n=220+4a_n-1，利用综合法，可得{a_n-}是一个以a₁-为首项，0.4为公比的等比数列，进而可以求出a_n的取值范围，与386比照后，即可得到答案．
点评：本题考查的知识点是数列的递推公式，数列的函数特征，数列的应用，其中根据已知条件分析出a_n=220+4a_n-1，是解答本题的关键，现时利用综合求证{a_n-}是等比数列，也是数列中的难点．