Question

14．（1）求证：m为任何实数，直线（m-1）x+（2m-1）y=m-5经过某一定点；
（2）过该定点引一条直线，使它夹在两坐标轴间的线段被这点平分，求这条直线的方程．

Answer 1

分析 （1）对于任意实数m，直线（m-1）x+（2m-1）y=m-5恒过定点，则与m的取值无关，则将方程转化为（x+2y-1）m+（x+y-5）=0．让m的系数和常数项为零即可；
（2）当斜率不存在时，不合题意；当斜率存在时，设所求直线l的方程为y+4=k（x-9），求出A，B的坐标，利用AB的中点为（9，-4），求出k，即可求这条直线的方程．

解答 （1）证明：方程（m-1）x+（2m-1）y=m-5可化为（x+2y-1）m+（x+y-5）=0
∵对于任意实数m，当$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-1=0}\\{x+y-5=0}\end{array}\right.$时，直线（m-1）x+（2m-1）y=m-5恒过定点
由$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-1=0}\\{x+y-5=0}\end{array}\right.$，得x=9，y=-4．
故定点坐标是（9，-4）；
（2）解：当斜率不存在时，不合题意；
当斜率存在时，设所求直线l的方程为y+4=k（x-9），
直线l与x轴、y轴交于A、B两点，则A（$\frac{4}{k}$+9，0）B（0，-9k-4）．
∵AB的中点为（9，-4），
∴$\frac{4}{k}$+9=18，-9k-4=-8，
解得k=$\frac{4}{9}$．
∴所求直线l₁的方程为y+4=$\frac{4}{9}$（x-9），
即：4x-9y-72=0．
所求直线l的方程为4x-9y-72=0．

点评 本题通过恒过定点问题来考查学生方程转化的能力及直线系的理解，考查直线方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．