Question

11．已知数列{a_n}．
（1）若a₁=1，a_n+1=4a_n+1，求通项公式；
（2）若a_n=（2n-1）2^n-1，求{a_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）通过对a_n+1=4a_n+1变形可知a_n+1+$\frac{1}{3}$=4（a_n+$\frac{1}{3}$），进而可知数列{a_n+$\frac{1}{3}$}是以$\frac{4}{3}$为首项、4为公比的等比数列，计算即得结论；
（2）通过a_n=（2n-1）2^n-1可知S_n=a₁+a₂+…+a_n=1•2⁰+3•2¹+5•2²+…+（2n-1）2^n-1、2S_n=1•2¹+3•2²+…+（2n-3）2^n-1+（2n-1）2ⁿ，利用错位相减法计算即得结论．

解答 解：（1）∵a_n+1=4a_n+1，
∴a_n+1+$\frac{1}{3}$=4（a_n+$\frac{1}{3}$），
又∵a₁+$\frac{1}{3}$=1+$\frac{1}{3}$=$\frac{4}{3}$，
∴数列{a_n+$\frac{1}{3}$}是以$\frac{4}{3}$为首项、4为公比的等比数列，
∴a_n+$\frac{1}{3}$=$\frac{4}{3}$•4^n-1=$\frac{1}{3}$•4ⁿ，
∴a_n=$\frac{1}{3}$•4ⁿ-$\frac{1}{3}$；
（2）∵a_n=（2n-1）2^n-1，
∴S_n=a₁+a₂+…+a_n=1•2⁰+3•2¹+5•2²+…+（2n-1）2^n-1，
∴2S_n=1•2¹+3•2²+…+（2n-3）2^n-1+（2n-1）2ⁿ，
两式相减得：-S_n=1+2（2¹+2²+…+2^n-1）-（2n-1）2ⁿ
=1+2•$\frac{2（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（2n-1）2ⁿ
=1-4+2•2ⁿ-（2n-1）2ⁿ
=-3-（2n-3）2ⁿ，
∴S_n=3+（2n-3）2ⁿ．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．