Question

2．已知函数f（x）=a^x+$\frac{x-2}{x+1}$（a＞1），判断f（x）=0的根的个数．

Answer 1

分析 f（x）=0是否有根，即看函数y=a^x和y=-$\frac{x-2}{x+1}$交点的个数，所以通过画图即可得出结论．

解答 解：$\frac{x-2}{x+1}$=1-$\frac{3}{x+1}$，
∴由f（x）=0得，a^x=$\frac{3}{x+1}$-1，
∴函数y=a^x与y=$\frac{3}{x+1}$-1图象交点的横坐标即是上面方程的解，
而y=$\frac{3}{x+1}$-1图象是由y=$\frac{3}{x}$的图象
沿x轴向左平移一个单位，向上平移一个单位得到，所以图象如下所示：
由图象可看出y=a^x与y=$\frac{3}{x+1}$-1
图象交点的横坐标大于0；
即方程f（x）=0的根的个数为1．

点评 本题考查指数函数的单调性，以及指数函数的图象，反比例函数的图象，图象平移的知识，属于中档题．