Question

19．如图，已知矩形ABCD是圆柱O₁O₂的轴截面，N在上底面的圆周O₂上，AC，BD相交于点M．
（Ⅰ）求证：平面ADN⊥平面CAN；
（Ⅱ）已知圆锥MO₁和圆锥MO₂的侧面展开图恰好拼成一个半径为2的圆，直线BC与平面CAN所成角的正切值为$\frac{\sqrt{3}}{6}$，求∠CDN的度数．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明CN垂直平面ADN，推出直线与平面垂直利用平面垂直的判定定理证明，平面ADN⊥平面CAN；
（Ⅱ）通过圆锥MO₁和圆锥MO₂的侧面展开图恰好拼成一个半径为2的圆，求出圆柱的高与底面半径的关系．直线BC与平面CAN所成角的正切值为$\frac{\sqrt{3}}{6}$，转化三角形CDN的边长关系，然后求∠CDN的度数．

解答 证明：（Ⅰ）已知矩形ABCD是圆柱O₁O₂的轴截面，N在上底面的圆周O₂上，
可知AD⊥上底面圆O₂，
∴AD⊥CN，又CN⊥DN，
AD∩DN=D，
可得CN⊥平面ADN，CN?平面CAN，
∴平面ADN⊥平面CAN；
（Ⅱ）由已知可知M为O₁O₂的中点，圆锥MO₁和圆锥MO₂的侧面展开图恰好拼成一个半径为2的圆，两个圆锥相同，圆锥MO₁和圆锥MO₂的侧面展开图都是半圆，ABπ=AMπ，
∴AB=AM，AD=2MO₁=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=$\sqrt{3}$AB=$\sqrt{3}$CD．
直线BC与平面CAN所成角的正切值为$\frac{\sqrt{3}}{6}$，即AD与平面CAN所成角的正切值为$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
可得tan∠DAN=$\frac{\sqrt{3}}{6}$=$\frac{DN}{AD}$，ND=$\frac{\sqrt{3}}{6}$AD=$\frac{\sqrt{3}}{6}×\sqrt{3}$CD=$\frac{1}{2}CD$，
cos∠CDN=$\frac{DN}{CD}$=$\frac{1}{2}$．
∠CDN的度数为60°．

点评 本题考查空间几何体的位置关系，直线与平面垂直，平面与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面生产基地应用，考查空间想象能力以及计算能力．