Question

9．若f（x）=x²-x+b，且f（log₂a）=b，log₂|f（a）|=2（a≠1），当满足log₂（2-x）≤2时，求f（2^x）的最小值及对应的x值．

Answer 1

分析 由f（log₂a）=b可求出a，再由log₂f（a）=2即可求得b，从而求出解析式；表示出f （2^x），配方后利用函数单调性可求最小值及x值．

解答 解：（1）由f（log₂a）=b，得（log2a）²-log₂a+b=b，即（log2a）²-log₂a=0，
解得log₂a=1或log₂a=0（舍），所以a=2．
由log₂|f（a）|=2，得f（a）=±4，即f（2）=±4，
所以2²-2+b=±4，解得b=2或者b=-6．
所以函数f（x）=x²-x+2或者f（x）=x²-x-6；当满足log₂（2-x）≤2时，即-2≤x≤2时，$\frac{1}{4}$≤2^x≤4，所以f（2^x）=（2^x）²-2^x+2=（2^x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{7}{4}$，当x=-1时，f（2^x）的最小值为$\frac{7}{4}$；
或者f（2^x）=（2^x）²-2^x-6=（2^x-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{25}{4}$，当x=-1时最小值为-$\frac{25}{4}$．

点评 本题考查复合函数的单调性及二次函数的性质，属中档题