Question

已知函数f（x）=e^x-c，g（x）=

1

3

ax³⁺

1

2

bx²+cx（a，b，c∈R）．
（1）若ac＜0，求证：函数y=g（x）有极值；
（2）若a=b=0，且函数y=f（x）与y=g（x）的图象有两个相异交点，求证：c＞1．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,函数的零点与方程根的关系

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：（1）求导数，函数g′（x）有两个零点，则可设为g′（x）=a（x-α）（x-β），利用零点存在定理，即可证明结论；
（2）记h（x）=e^x-cx-c，则h′（x）=e^x-c，由函数y=f（x）与y=g（x）的图象有两个相异交点知函数h（x）有两互异零点，即可得出结论．

解答： 证明：（1）由g（x）=

1

3

ax³+

1

2

bx²+cx得g′（x）=ax²+bx+c，
∵ac＜0，∴△＞0且a≠0．   …（4分）
∴函数g′（x）有两个零点，则可设为g′（x）=a（x-α）（x-β）
∴若x₁＜α＜x₂＜β＜x₃，则g′（x₁）g′（x₂）＜0，g′（x₂）g′（x₃）＜0．
∴g（x）有极值．  …（6分）
（2）由e^x-c=cx，得e^x-cx-c=0，
记h（x）=e^x-cx-c，则h′（x）=e^x-c，
由函数y=f（x）与y=g（x）的图象有两个相异交点知函数h（x）有两互异零点…（9分）
若c≤0，h（x）单调递增，则h（x）最多1个零点，矛盾．  …（11分）
∴c＞0．此时，令h′（x）=0，则x=lnc．
列表：

x	（-∞，lnc）	lnc	（lnc，+∞）
h′（x）	-	0	+
h（x）

∴h（x）_min=h（lnc）=-clnc＜0，∴c＞1．…（16分）

点评：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的极值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．