【题目】如图,在三棱锥C﹣OAB中,CO⊥平面AOB,OA=OB=2OC=2,AB=2 ,D为AB的中点.
(Ⅰ)求证:AB⊥平面COD;
(Ⅱ)若动点E满足CE∥平面AOB,问:当AE=BE时,平面ACE与平面AOB所成的锐二面角是否为定值?若是,求出该锐二面角的余弦值;若不是,说明理由.
【答案】解:(Ⅰ)在三棱锥C﹣OAB中,CO⊥平面AOB,
∴CO⊥AB.
又OA=OB,D为AB的中点,
∴DO⊥AB
∵DO∩CO=O,
∴AB⊥平面COD.
(Ⅱ)∵OA=OB=2,AB=2 ,
∴AO⊥BO.
由CO⊥平面AOB,故以点O为原点,OA所在的直线为x轴,OB所在的直线为y轴,OC所在的直线为z轴建立空间直角坐标系(如图),
由已知可得O(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C(0,0,1),D(1,1,0).
由CE∥平面AOB,故设E(x,y,1).
由AE=BE,得 ,
故x=y,即E(x,y,1),(x≠0).
设平面ACE的法向量为 ,由
,
=(x,y,0),
得 ,令a=1,得
=(1,﹣1,2).
又平面AOB的法向量为
∴cos< >=
=
.
故平面ACE与平面AOB所成的锐二面角为定值,且该锐二面角的余弦值为 .
【解析】(Ⅰ)由已知条件推导出CO⊥AB,DO⊥AB.由此能证明AB⊥平面COD.(Ⅱ)以点O为原点,OA所在的直线为x轴,OB所在的直线为y轴,OC所在的直线为z轴建立空间直角坐标系,利用向量法能求出平面ACE与平面AOB所成的锐二面角的余弦值.
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面垂直的判定的相关知识,掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直;注意点:a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想.
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【题目】在12件同类型的零件中有2件次品,抽取3次进行检验,每次抽取1件,并且取出后不再放回,若以ξ和η分别表示取到的次品数和正品数.
(1)求ξ的分布列、均值和方差;
(2)求η的分布列、均值和方差.
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【题目】如图所示,ABCD-A1B1C1D1是正方体,在图①中E,F分别是D1C1,B1B的中点,画出图①、②中有阴影的平面与平面ABCD的交线,并给出证明.
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【题目】如图所示,在△ABC中,a=b·cos C+c·cos B,其中a,b,c分别为角A,B,C的对边,在四面体PABC中,S1,S2,S3,S分别表示△PAB,△PBC,△PCA,△ABC的面积,α,β,γ依次表示面PAB,面PBC,面PCA与底面ABC所成二面角的大小.写出对四面体性质的猜想,并证明你的结论
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【题目】某同学在研究函数(x∈R)时,分别给出下面几个结论:
①函数f(x)是奇函数;②函数f(x)的值域为(-1,1);③函数f(x)在R上是增函数;其中正确结论的序号是
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
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【题目】在区间(﹣2,a)(a>0)上任取一个数m,若函数f(x)=3x+m﹣3 在区间[1,+∞)无零点的概率不小于
,则实数a能取的最小整数是( )
A.1
B.3
C.5
D.6
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