Question

已知sin α+cos α=

3 5

5

，α∈（0，

π

4

），sin（β-

π

4

）=

3

5

，β∈（

π

4

，

π

2

）．则cos（α+2β）的值为

-

11 5

25

．

Answer 1

分析：根据β的范围求出β-

π

4

的范围，由sin（β-

π

4

）的值利用同角三角函数间的关系求出cos（β-

π

4

）的值，然后利用二倍角的正弦函数公式及同角三角函数间的关系分别
求出sin2β和cos2β的值，根据sin α+cos α=

3 5

5

，α∈（0，

π

4

），分别求出sinα和cosα的值，再利用利用两角和的余弦函数公式化简求得结果．

解答：解：∵β∈（

π

4

，

π

2

），β-

π

4

（0，

π

4

），∴cos（β-

π

4

）=

4

5

，于是sin2（β-

π

4

）=2sin（β-

π

4

）cos（β-

π

4

）=

24

25

．
又sin2（β-

π

4

）=-cos2β，∴cos2β=-

24

25

．
又2β∈（

π

2

，π），∴sin2β=

7

25

．
由sin α+cos α=

3 5

5

，α∈（0，

π

4

），以及cos²α+sin²α=1，可得cosα=

2

5

，sinα=

1

5

．
∴cos（α+2β）=cosαcos2β-sinαsin2β=

2 5

5

×

-24

25

-

5

5

×

7

25

=-

11 5

25

，
故答案为-

11 5

25

．

点评：此题考查学生灵活运用二倍角的正弦函数公式、同角三角函数间的基本关系及两角和的余弦函数公式化简求值，是一道综合题，做题时学生应注意角度的范围，属于中档题．