Question

选修4-5：不等式选讲
设函数f(x)=

|x-2|+|x-a|-2a

若函数f（x）的定义域为R，试求实数a的最大值．

Answer 1

分析：设g（x）=|x-2|+|x-a|，原命题等价于g（x）_min≥2a．分a＞2和a＜2两种情况，分别求得a的范围，综合可得实数a的最大值．

解答：解：由题意有：|x-2|+|x-a|≥2a对x∈R恒成立，设g（x）=|x-2|+|x-a|，原命题等价于g（x）_min≥2a．
（i）当a＞2时，g(x)=

2x-2-a a-2 -2x+a+2

x＞a 2≤x≤a x＜2

，g（x）_min=a-2≥2a，则a≤-2，这与a＞2矛盾，不成立，故舍去．  …（5分）
（ii）当a＜2时，g(x)=

2x-2-a 2-a -2x+a+2

x＞2 a≤x≤2 x＜a

，g（x）_min=a-2≥2a，则a≤

2

3

，
∴实数a的最大值为

2

3

．
综上可得，实数a的最大值为

2

3

． …（10分）

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．