Question

10．已知函数f（x）=-x²+1，g（x）=f[f（x）]，是否存在实数p＜0，使得函数F（x）=pg（x）+f（x）在（-3，0）上单调递增，且在（-∞，-3]上单调递减？若存在，求出p的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 函数F（x）=pg（x）+f（x）=-px⁴+（2p-1）x²+1，若满足条件，则F′（-3）=0，求出p值，验证后可得结论．

解答 解：存在p=$-\frac{1}{17}$满足条件，理由如下：
∵函数f（x）=-x²+1，
∴g（x）=f[f（x）]=-（-x²+1）²+1=-x⁴+2x²，
∴函数F（x）=pg（x）+f（x）=-px⁴+（2p-1）x²+1，
则F′（x）=-4px³+2（2p-1）x，
若函数F（x）在（-3，0）上单调递增，且在（-∞，-3]上单调递减，
则F′（-3）=96p+6=0，解得：p=-$\frac{1}{16}$，
此时F′（x）=$\frac{1}{4}$x（x+3）（x-3），
当x∈（-∞，-3]时，F′（x）≤0，函数F（x）为减函数，
当x∈（-3，0）时，F′（x）＞0，函数F（x）为增函数，满足条件；
故存在p=-$\frac{1}{16}$满足条件．

点评 本题考察了函数的单调性，导数的应用，难度中档．