Question

18．设函数f（x）=x-$\frac{1}{x}$-alnx．
（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与圆x²+y²=$\frac{1}{2}$，求a的值；
（2）当a∈[0，2]时，函数g（x）=x-lnx-$\frac{1}{e}$，若在[1，e]上至少存在一根x₀，使得f（x₀）≥g（x₀），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出导数，求得切线的斜率和切点，求出切线的方程，由直线和圆相切的条件，即可得到a的值；
（2）求出g（x）的导数，判断单调性，求得在[1，e]上的最小值，求出f（x）的导数，判断单调性，可得最大值，若在[1，e]上存在实数x，使得f（x）＞g（x），即为f（x）_max≥g（x）_min，解不等式即可得到a的范围．

解答 解：（1）函数f（x）=x-$\frac{1}{x}$-alnx的导数为f′（x）=1+$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{a}{x}$，
在点（1，f（1））处的切线斜率为2-a，切点为（1，0），
在点（1，f（1））处的切线方程为y=（2-a）（x-1），
切线与圆x²+y²=$\frac{1}{2}$相切，可得$\frac{|2-a|}{\sqrt{1+（2-a）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得a=1或3；
（2）∵g（x）=x-lnx-$\frac{1}{e}$的导数为g′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$≥0，
则g（x）在[1，e]上是增函数，
∴x=1时，g（x）_min=1-$\frac{1}{e}$；
又f（x）=x-$\frac{1}{x}$-alnx的导数为f′（x）=1+$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{a}{x}$=$\frac{{x}^{2}-ax+1}{{x}^{2}}$，
由a∈[0，2]，则x²-ax+1的判别式a²-4≤0，即有f′（x）≥0恒成立，
即f（x）在[1，e]递增，x=e处取得最大值，且为e-$\frac{1}{e}$-a，
由在[1，e]上至少存在一根x₀，使得f（x₀）≥g（x₀），
即有f（x）_max≥g（x）_min，即为e-$\frac{1}{e}$-a≥1-$\frac{1}{e}$，
解得0≤a≤e-1，
则a的取值范围是[0，e-1]．

点评 本题主要考查对数函数的导数，函数单调性的判定，函数最值，函数、方程与不等式等基础知识，考查学生的运算求解能力、推理论证能力及分析与解决问题的能力，属于中档题．