Question

9．已知f（x）是定义在R上的单调函数，f（1）=2且对于任意x，y∈R，总有f（x+y）=f（x）+f（y），
（1）求f（0）、f（3）的值；
（2）若f（4^x-a）+f（6+2^x+1）＞6对任意x恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令x=y=0，可得f（0）=0；令x=y=1，再令x=1，y=2，即可得到f（3）=6；
（2）由（1）的结论可得f（x）为R上的递增函数，令y=-x，可得f（-x）=-f（x），由题意可得4^x-a＞-3-2^x+1，即a-3＜4^x+2^x+1，求得右边函数的值域，即可得到a的范围．

解答 解：（1）令x=y=0，则f（0）=2f（0），解得f（0）=0；
令x=y=1，则f（2）=2f（1）=4；
再令x=1，y=2，则f（3）=f（1）+f（2）=2+4=6；
（2）由f（x）是定义在R上的单调函数，且f（0）＜f（1），f（2）＜f（3），
则f（x）在R上为递增函数，
由y=-x，可得f（0）=f（x）+f（-x）=0，
即为f（-x）=-f（x），
f（4^x-a）+f（6+2^x+1）＞6对任意x恒成立，
即有f（4^x-a）＞6-f（6+2^x+1）=f（3）+f（-6-2^x+1）=f（-3-2^x+1），
即为4^x-a＞-3-2^x+1，即a-3＜4^x+2^x+1，
由4^x+2^x+1=（2^x+1）²-1＞0，
可得a-3≤0，解得a≤3．
故实数a的取值范围是（-∞，3]．

点评 本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和运用：解不等式，同时考查赋值法的运用，考查运算能力，属于中档题．