Question

1．已知函数f（x）=k-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，k∈R．
（1）是否存在实数k使得函数f（x）为奇函数？若存在，求出实数k；若不存在，请说明理由；
（2）判断函数f（x）的单调性，并证明你的判断；
（3）当k=1时，若不等式f（t²-2t）+f（2t²-m）＞0对于t∈R恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若f（x）为R上的奇函数，即有f（0）=0，求得k=1，再由奇偶性的定义即可得证；
（2）f（x）为R上的增函数，运用单调性的定义，即可得证；
（3）运用函数f（x）为R上的奇函数，也为增函数，由题意可得f（t²-2t）＞-f（2t²-m）=f（m-2t²），即有t²-2t＞m-2t²，即m＜3t²-2t恒成立，运用二次函数的最值的求法，可得最小值，即可得到a的范围．

解答 解：（1）若f（x）为R上的奇函数，即有f（0）=0，
即k-1=0，解得k=1，
f（x）=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$，f（-x）=$\frac{{2}^{-x}-1}{{2}^{-x}+1}$=$\frac{1-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$=-f（x），
则存在k=1，使得f（x）为奇函数；
（2）f（x）为R上的增函数，
理由：设m＜n，f（m）-f（n）=（k-$\frac{2}{1+{2}^{m}}$）-（k-$\frac{2}{1+{2}^{n}}$）
=$\frac{2（{2}^{m}-{2}^{n}）}{（1+{2}^{m}）（1+{2}^{n}）}$，由m＜n，可得0＜2^m＜2ⁿ，
即有f（m）-f（n）＜0，则f（x）为R上的增函数；
（3）f（x）=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$为R上的奇函数，也为增函数，
不等式f（t²-2t）+f（2t²-m）＞0对于t∈R恒成立，
即为f（t²-2t）＞-f（2t²-m）=f（m-2t²），
即有t²-2t＞m-2t²，即m＜3t²-2t恒成立，
由3t²-2t=3（t-$\frac{1}{3}$）²-$\frac{1}{3}$，当t=$\frac{1}{3}$时，取得最小值-$\frac{1}{3}$，
则m＜-$\frac{1}{3}$，即m的取值范围是（-∞，-$\frac{1}{3}$）．

点评 本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用：解不等式，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用二次函数的最值的求法，属于中档题．