Question

（本题满分15分）已知函数,，且为

偶函数．设集合．

（Ⅰ）若，记在上的最大值与最小值分别为,求；

（Ⅱ）若对任意的实数，总存在，使得对恒成立，试求的最小值.

Answer 1

（1），（2），

【解析】

试题分析：先求出函数，利用函数为偶函数，对称轴为，求出，由于二次函数，在区间上位减函数，在上为增函数，求出最大值和最小值,求出；第二步令，由x的范围找出t范围，因，得的最大值为，从题意分析：在上，总存在连个点，使得成立，只需证明在A上对任意的t成立即可；

试题解析：（1）为偶函数，所以．在区间上，

（2）设 ， 所以的最大值为，依题意原命题等价于在上，总存在两个点 即只需满足在上 ，因为对任意的都成立，所以当也成立，由（１）知 ；当时，，

下面证明在上总存在两点使得成立.

当时，在上是增函数，

当时，在上是减函数，

综上所述，的最小值为.

考点：函数与不等式；