Question

已知椭圆的C两个焦点分别为F₁（0，-1），F₂（0，1），离心率e=

1

2

，P是椭圆C在第一象限内的一点，且|PF₁|-|PF₂|=1．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求点P的坐标；
（3）若点Q是椭圆C上不同于P的另一点，问是否存在以PQ为直径的圆G过点F₂？若存在，求出圆G的方程，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题意可得c=1，，b²=a²-1²=3，从而可求椭圆的方程
（2）法一：由椭圆定义得|PF₁|+|PF₂|=4，联立|PF₁|-|PF₂|=1可求PF₁，PF₂结合F₁F₂=2，有|PF₁|²=|PF₂|²+|F₁F₂|²
可得PF₂⊥F₁F₂P的纵坐标为1，进而可求P的坐标
法二：由|PF₁|-|PF₂|=1得点P在双曲线

y2

1 4

-

x2

3 4

=1的上支，从而可得P为椭圆与双曲线的交点，联立

y2

4

+

x2

3

=1，

y2

1 4

-

x2

3 4

=1可求
（3）设存在满足条件的圆，则PF₂⊥QF₂，设Q（s，t），则由题意可得(-

3

2

，0)•(-s，1-t)=0可求Q
由2r=|PQ|=

13

2

或2r=|PQ|=

45

2

，，从而可得圆的方程

解答：解：（1）依题可设椭圆方程为

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)
则

1

2

=

1

a

⇒a=2，b²=a²-1²=3-------------（2分）
故曲线C的方程为

y2

4

+

x2

3

=1．-------------------（3分）
（2）法一：由椭圆定义得|PF₁|+|PF₂|=4-----（1分）
联立|PF₁|-|PF₂|=1得|PF1|=

5

2

，|PF2|=

3

2

-------（2分）
又|F₁F₂|=2，有|PF₁|²=|PF₂|²+|F₁F₂|²
∴PF₂⊥F₁F₂
∴P的纵坐标为1，-------------------（3分）
把y=1代入

y2

4

+

x2

3

=1得x=

3

2

或x=-

3

2

（舍去）
∴P(

3

2

，1)-------------------（4分）
法二：由|PF₁|-|PF₂|=1得点P在以F₁（0，-1），F₂（0，1）为焦点，实轴长为1的双曲线的上支上，---------（1分）
双曲线的方程为

y2

1 4

-

x2

3 4

=1-------------------（2分）
联立

y2

4

+

x2

3

=1得x2=

9

4

，y2=1------------------（3分）
因P在第一象限内，故x=

3

2

，y=1∴P(

3

2

，1)-------------------（4分）
（3）设存在满足条件的圆，则PF₂⊥QF₂，设Q（s，t），则(-

3

2

，0)•(-s，1-t)=0-------------------（1分）
得

3

2

s+0×(1-t)=0，得s=0-------------------（2分）
又

t2

4

+

s2

3

=1，∴t=±2-------------------（3分）
∴Q（0，2）或Q（0，-2）-------------------（4分）
2r=|PQ|=

13

2

，∴r=

13

4

，
∴圆G为：(x-

3

4

)2+(y-

3

2

)2=

13

16

-------------（6分）
或2r=|PQ|=

45

2

，∴r=

45

4

，∴圆G为：(x-

3

4

)2+(y+

1

2

)2=

45

16

------------（7分）

点评：本题主要考查了由椭圆的性质求解椭圆的方程，双曲线的定义的应用，直线与圆、圆锥曲线的位置关系的应用，属于知识的综合运用．